С отрицанием наречие втуне пишется раздельно: не втуне. Например: Божественное слово любви и братства не втуне огласило мир. Н. Чернышевский, Очерки гоголевского периода русской литературы.
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.