В значении 'осуществлять' верен второй вариант.
Эпиграф в кавычки не заключается.
Мы не выполняем домашние задания. Вы можете проверить себя, воспользовавшись толковым словарем.
Деепричастный оборот не обособляется, если он выступает в качестве однородного члена предложения с необособленным обстоятельством: Как начать диалог эффективно и помня о безопасности? Ср.: Клим Самгин шагал по улице бодро и не уступая дорогу встречным людям (М.Г.); Он долго и нимало не стесняясь подробностями объяснял, почему именно монашек мог быть родителем Иванушки (М.Г.).
Например: Мы предлагаем нашим оппонентам диалог.
Правильно.
Современная литературная норма – только диалОг. Вариант диАлог маркируется в словарях как устаревший.
Да, такой вариант оформления корректен.