Кавычки не нужны: ГУМ, ЦУМ.

В разговорной речи эта аббревиатура склоняется.

Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.

Аббревиатуру СУГ не нужно заключать в кавычки.

Орфографический словарь регламентирует только написание языковых единиц. Различные другие сведения (грамматические, орфоэпические, стилистические) даются как вспомогательная информация для опознания слова, его отличия от других единиц, в чем-то сходных. Эти сведения отражают существующую норму, иногда вариативную, но не ранжируют варианты стилистически, не дают сведений о специфике их употребления в разных типах текстов.

Аббревиатура ЦУП зафиксирована в орфографическом словаре как слово мужского рода, которое может склоняться (на это в словарной статье указывает окончание -а) или не склоняться (об этом сигнализирует помета нескл.). Такими же грамматическими характеристиками обладают и другие аббревиатуры, например: МИД, ОМОН. Некоторые аббревиатуры склоняются в разговорной речи и не склоняться в текстах документов. Подробнее об этом см. в «Письмовнике». 

Ваш вопрос о склонении аббревиатуры ЦУП передан редакторам «Русского орфографического словаря» и «Академоса». Если при проверке установят, что аббревиатура склоняется во всех типах текстов, то грамматические сведения в стате будут скорректированы. 

Грамматически правильно: Девочка несётся через луг к ручейку, протекающему в низине. Но стилистически предложение неудачно. 

В этом предложении ставить запятые не нужно.

Корректно: ...назначить ответственным за работу с договорами табельщицу А. И. Иванову.

Удвоение "р." не требуется.