Сходить на обед, сходить в парикмахерскую правильно. Сходить – пойти куда-л. и, побыв там, вернуться обратно.
Верно раздельное написание: сойти с ума.
Да, запятая обязательна, это сложносочиненное предложение.
В официальных документах принято такое написание: Государственная Дума, Московская областная Дума.
Выражение сойти с ума в значении "потерять рассудок" стилистически нейтрально.