Согласно орфографическим правилам и словарной кодификации верно: Верховный суд Республики Башкортостан. Однако в «Справочнике по оформлению правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации» зафиксировано написание Верховный Суд Республики Башкортостан. Это дает основание различать написание в официальных нормативных правовых актах и в других сферах.
Литературная норма: обжалованы в суде.
Выбрать нужный вариант следует исходя из контекста.
Правильно: обжаловать где-либо: обжаловать в Арбитражном суде.
Правильно: обжаловать в суде, обжалование в суде.
Запятая не ставится.
Корректно: трансляция из суда (из помещения), трансляция заседания суда (самого процесса).
Запятая в обоих случаях не ставится.