Возможны оба варианта.
Правильно: борьба со СПИДом.
Шри-Ланка, Шри-Ланки, Шри-Ланке, Шри-Ланку, Шри-Ланкой, о Шри-Ланке.
Лежа на спине — несогласованное определение (положения какого?), не требующее обособления.
Это сочетание пишется раздельно, склоняются обе части: Царевны Лебеди, Царевне Лебеди и т. д. Обратите внимание: в этом сочетании Лебедь женского рода.
В родительном падеже верно: (карикатуры) Кукрыниксов.