Да, это имя будет склоняться (Мории, Мории, Морию, Морией, о Мории).

Мужская фамилия Грэй должна склоняться (Грэя, Грэю), женская фамилия не склоняется.

Прозвище будет склоняться.

Если части сложного существительного без соединительной главной тесно слились по смыслу, то первая часть не склоняется (например: плащ-палатки). Если такого «слияния» не произошло, то склоняются обе части. Кроме того, некоторые слова могут склоняться по-разному в разговорной и книжной речи. Так, в разговорной речи встречается вариант в вагон-ресторане, тогда как литературная норма: в вагоне-ресторане.

На практике, если возникают сомнения, мы рекомендуем сверяться со словарями.

Имена и фамилии, оканчивающиеся на -у, не склоняются, поэтому Осаму не будет склоняться. Склонение компонента Ирей зависит от пола лица. Мужские имена и фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, женские – нет.

Название Мцхета склоняется: родился в Мцхете. Поскольку это название давно освоено русским языком, то оно может склоняться и со словом город: родился в городе Мцхете.

В обоих случаях фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11). 

Мужская фамилия Масс склоняется, женская – нет.

Предпочтительно не склонять эту аббревиатуру.