Спасибо! Постараемся сделать работу над ошибками. 

Запятая после слова например не нужна. Если вводное слово стоит в начале обособленного оборота, запятые ставятся перед вводным словом и после всего обособленного оборота. После вводного слова запятая не ставится.

Корректно: Опираясь на высказывания «живых звеньев», связывавших его с преподобным Паисием, – епископа Нектария, Е. Ю. Концевич, отца Адриана, отец Серафим писал… Запятая после слова Паисием закрывает причастный оборот, запятая после слова Адриана – деепричастный; второе тире после обособленного приложения опускается, т. к. по условиям контекста требуется запятая.

После прямой речи ставится тире, если прямая речь заканчивается многоточием: Отец Серафим меня напутствовал: «Съезди туда, съезди сюда…» – а по возвращении подробно расспросил обо всех местах, где мне удалось побывать.

Употребление корректно. Такая поговорка действительно существует (нам приходилось слышать ее в таком варианте: являются только черти), этим хотят сказать, что использование глагола являться не всегда может быть уместно. Являться в значении 'быть, представлять собой' широко употребительно в канцелярской, деловой, а также в научной речи, поэтому в живой разговорной речи, при непринужденном общении, употребление этого глагола не всегда оправданно, он может придавать словам говорящего ненужную громоздкость, тяжеловесность, официоз (например, приведенное Вами предложение в живой речи лучше звучало бы так: материал... разработан современными учеными). Но не следует воспринимать эту поговорку как категоричный запрет на употребление глагола являться, всячески избегать этого слова тоже неправильно.