Запятая уместна как знак между однородными определениями, выраженными причастным оборотом и одиночным причастием.

См. ответы на вопросы о слове коронавирус № 304975, 305085, 305084.

Корректно: Я еще в комнатах услыхал, что самовар, находящийся в кухне, гудит естественно гневно, а войдя в кухню, с ужасом увидел, что он весь посинел и трясется, точно хочет подпрыгнуть с пола.

Корректно без запятых: В горнице на белом прибранном столе шумел ведёрный самовар...

Возможна такая логика: старомодный, поскольку пузатый (т. е. "пузатость" как причина, признак "старомодности"). Но - подчеркнем - это лишь возможное авторское решение.

По усмотрению автора текста эти определения могут считаться однородными.

Дело в том, что повтор союза в простом предложении не всегда означает последовательное перечисление однородных членов предложения. В приведенном Вами примере первый союз И соединяет первое сказуемое (был танцором) с парой последующих сказуемых (врезался и ожег). Тот факт, что второе и третье сказуемое образуют смысловую пару, подтверждается тем, что именно с этими сказуемыми соотносится деепричастный оборот. Схематически это можно изобразить так: (был танцором) И (врезался И ожег).

Корректно: тульский самовар, тульские пряники.

Правило, о котором Вы говорите, касается существительных со значением лица по роду занятий. Такие существительные, называющие лицо или предмет, производящий действие, образованы с помощью суффикса -чик/-щик и мотивированы они, как правило, глаголами: перевозить – перевозчик, переплетать – переплетчик, обходить – обходчик, обмануть – обманщик. В таких словах, действительно, суффикс -чик пишется только после согласных Д, Т, З, С, Ж; после других согласных пишется суффикс -щик.

Теперь о слове шкафчик. В нем выделяется суффикс -чик, имеющий совершенно другое значение (т. е. здесь перед нами суффиксы-омонимы). Существительные, образованные с помощью данного суффикса -чик, имеют уменьшительное значение и мотивированы они именами существительными: шкаф – шкафчик, сарай – сарайчик, рукав – рукавчик, тулуп – тулупчик, костюм – костюмчик, стакан – стаканчик, самовар – самоварчик, стул – стульчик. Суффикса -щик здесь быть вообще не может.

Что касается других слов из данного задания ЕГЭ, то ни в одном из них нет суффикса -чик. В словах огурчик и мячик  выделяется суффикс -ик, а в слове пончик -чик является частью корня.

Попытаемся спасти Вашу семью от драки :) Ваши домашние правы в том, что словарь Даля, конечно же, отражает лексику не современного русского языка, а русского языка второй половины XIX века. Поэтому для решения Вашего вопроса лучше обратиться к современным толковым словарям. Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под ред. С. А. Кузнецова (СПб., 2003), есть два омонимичных глагола задевать: задевать 1 - разг. запрятать, засунуть куда-либо; задевать 2 - глагол несовершенного вида от задеть - 1) зацепиться за что-либо или коснуться чего-либо при движении: задеть локтем самовар; 2) мимоходом остановиться на чем-либо в изложении, в разговоре: задеть критикой директора; 3) взволновать, обеспокоить; обидеть, оскорбить: грубый тон больно задел девушку. Как мы видим, у глагола задеть - задевать нет значения "набирать, доставать что-либо жидкое, захватывая чем-либо". Это значение есть у глагола черпать, и словосочетание черпать ложкой суп совершенно правильно, именно его и надо употреблять. А вот задевать ложкой не отвечает литературной норме и действительно режет слух, здесь Вы абсолютно правы.
И последнее. Когда будете говорить сыну черпай ложкой, помните, что в этом слове предпочтительно ставить ударение на первый слог: чЕрпать, чЕрпай. Ударение на А большинством словарей фиксируется как неправильное.