Правильно: США боятся, США заявляют.
Метать перуны – сердиться, сильно ругать кого-л. Родиться в рубашке – о том, кому всегда сопутствует удача, счастье. Заварить кашу – затеять какое-л. неприятное хлопотливое дело. Взять быка за рога – начинать действовать энергично, решительно. Кот наплакал – очень мало (о крайне недостаточном количестве кого-л., чего-л.).
См. также наш Справочник по фразеологии.
Верно: родиться в тысяча восемьсот семидесятом году (предложный падеж).
В словарях такое употребление глагола "бояться" отмечено. Ошибки нет.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Выбор предлога зависит от контекста. Примеры см. в словарях.
Правильно: бояться кого-чего. Кошка боится мышки.
Верно: тысяче богов, тысячам богов.