Это слово не фиксируется словарями русского языка, дать рекомендации затруднительно.
Правильно: из всех регионов.
Верно: Бурятия — первый из российских регионов, где ввели масочный режим.
См. ответ на вопрос № 231283.
Вы написали это название правильно. С большой буквы пишется первое слово официального названия мероприятия.
Как можно судить по текстам в СМИ, слово инаугурация стало использоваться для обозначения торжественной церемонии вступления в должность глав регионов. Особенности современного словоупотребления находят отражение в словарях. «Церемония вступления в высокую государственную выборную должность» — так описывает одно из значений слова инаугурация «Большой академический словарь русского языка», издаваемый Институтом лингвистических исследований РАН.