Если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают, то топоним склонять не следует: город Лозовая — в городе Лозовая.

По правилам пишутся раздельно сочетания двух нарицательных существительных, первое из которых обозначает родовое понятие, а второе — видовое. В справочниках по правописанию, в которых описывается данное правило, приводятся не только примеры соотношений «род — вид» (птица иволга, гриб подосиновик), но и примеры слов, выражающих более дробное членение на виды и подвиды: антилопа сайгак, попугай какаду, обезьяна макака. При этом отмечается дефисное написание для многих слов, в которых «вторая часть не служит самостоятельным видовым обозначением». На практике же написание слов этого типа сильно колеблется, всё больше устанавливается дефисное написание при описании подвидов, даже если вторые части могут употребляться самостоятельно в том же значении.

1. Сложносокращенные слова пишутся слитно: магмобиль, магсообщение.

2. Сочетание тоже мне, выражающее неодобрение, может быть частицей или нечленимым предложением. Соответственно, возможны варианты пунктуации: Тоже мне благородная дама!; Тоже мне, благородная дама!; Тоже мне! Благородная дама!

3. Приведенные пары определений характеризуют людей с разных сторон, и по общему правилу запятая между ними не нужна. Вместе с тем в первом примере они могут быть объединены сходством производимого впечатления (низкая, толстенькая), а во втором примере между ними может быть установлена причинно-следственная связь (больной, поэтому недееспособный), поэтому варианты с запятой тоже верны.

4. Для слова колено в значении «сустав, место сгиба ноги» форма мн. ч. род. п. коленей основная, колен — устаревшая. Если обсуждаемое сочетание употребляется в прямом смысле, правилен вариант подняться с коленей. Для сочетания, употребленного в метафорическом, высоком смысле («стать независимым») рекомендуем вариант подняться с колен.

Да, род в таком случае указывается. Но следует помнить, что у существительных, не имеющих форм единственного числа (ножницы, сливки), род определить нельзя. Они вне родовой характеристики.

Словарной рекомендации на этот счет нет, но в официальных текстах (например, в письме Минпросвещения России) используется в основном вариант со склонением обеих частей: согласно плану-схеме. Если первая часть такого сложносоставного термина склоняется, то его род определяется по первому слову, например: согласно приложенному плану-схеме.

Сочетание добавить газу корректно. В нем используется особая форма родительного падежа с окончанием -у, имеющая количественное значение. В «Русской грамматике» 1980 г. отмечено, что употребление этой формы «постепенно идет на убыль», теперь в количественном значении часто используется обычная форма родительного падежа на -а: добавить газа.

Да, правильна именно такая форма.

В толковых словарях русского языка слово будень отмечено как устаревшее и просторечное (о чем и должен сообщать ответ справочной службы). Стилистические особенности слова иллюстрируются цитатами из художественных произведений: «Ведь ты знаешь, что в будень мне некогда, я занят; в воскресенье, если погода будет хороша, пожалуй, съездим» [А. Н. Анненская. Мои две племянницы (1882)]; «Упражнять вас в этом чувстве мы по-настоящему должны всегда, в будень и в праздник» [А. П. Чехов. Праздничные (1884–1885)]; «Приехала с мужем, в будень, в четыре часа, нарядная, любезная, благоухающая сладкою фиалкою...» [Ф. К. Сологуб. Мелкий бес (1902)].

Это слова среднего рода. Род аббревиатур определяется по опорному слову в словосочетании. В данном случае это слова агентство и министерство.

Ни один из предложенных Вами вариантов нельзя признать удачным. Лучше перестроить предложение: Крутой специалист, она нашла работу в столице, где сегодня и живет.