Слова военный округ пишутся строчными буквами.

Такой перенос возможен.

Если речь идет не о действии, а о группе лиц, то верно: командование Южного военного округа.

Верно: ...совершать свои проверки и на военных объектах.

Нарицательное наименование пишется строчными, собственное - с прописных букв. Пожалуйста, уточните, как употребляется это наименование в Вашем случае.

Название при словах городской округ обычно не склоняется. Верно: в городском округе Подольск, в г. о. Подольск.

Правильно: воинский контингент.

Предлагаем обратиться к нашим электронным словарям (толково-словообразовательный словарь) в окне «Искать на Грамоте».

Если возникает необходимость написания подобных прилагательных с прописной буквы, то слитное написание меняется на дефисное. Правильно: Северо-Кавказский военный округ. Однако Дальневосточный пишется слитно, т. к. существительное восток не является именем собственным.