Пить – поглощать жидкость (самостоятельно); поить – давать пить кому-либо (поить больного, поить ребенка). Подробнее см. в словарях.
Запятая нужна: Что вижу, то пою.
Да, запятую надо поставить: Пою, пока пеку.
Устойчивого употребления нет. Допустимо: пою под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
"Пою тебя" - уместно в значении "воспеваю", "восхваляю".