Со словом "центр" используется предлог В: поставка в РЦ (центр).
Географические названия обычно не склоняются в сочетании со словом поселок: жители поселка Октябрь.
Правильное написание в современном русском языке: исподтишка. Это слово происходит от сочетания из-под тишка, где тишка – форма родительного падежа существительного тишок ''тишина, спокойствие'. Первоначальное значение исподтишка – 'тихонько', затем – 'скрытно.'
Топонимы со словом посёлок обычно не склоняются. Верно: на Дне посёлка Маяк.
Оба варианта возможны. Употребительнее: на следующий день.
Предпочтительно: выставку посетило 1600 человек.
Пишутся раздельно сочетания с частицей таки, предшествующей слову, к которому она относится (обычно сказуемому): Однажды я таки посетила бассейн. Ср.: Однажды я посетила-таки бассейн.
Название поселка пишется точно так же, как имя писателя: поселок Лев Толстой.