Верно: Можно я пойду попить воды?
Верно: попить чайку.
Слова из песни на стихи Е. Винокурова: «Но помнит мир спасенный...»
Варианты различаются по значению. Д. Э. Розенталь в справочнике «Управление в русском языке» указывает: помнить кого-что 'сохранять в памяти в полном объеме'; помнить о ком-чем 'в общем виде, без подробностей'. Поэтому лучше, пожалуй: помнит Вас.
Правильно раздельное написание: по их мнению. Обратите внимание: это вводные слова, необходима запятая после слова мнению.
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.