Это глаголы второго спряжения (не исключения). Спряжение проверяется по ударным личным окончаниям: трещат, пищат.
1. Никто не проживает.
2. Никто не открыл.
Оба варианта возможны. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
ИА - это информационное агентство? Тогда верно: писало.
Корректно: пребудут навсегда. (Пребывать — неизменно оставаться, сохраняться.)
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Оба варианта корректны, важно, чтобы во всем тексте употреблялась только одна из этих форм.
Для слова заведующий существует женский вариант заведующая. См. также: 89">http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric89.
Корректно: буллинг, лайфхаки.