Варианты первый раз и в первый раз равноправны. Но именно в данном сочетании закрепился вариант первый раз.
Слово первый в таких случаях является обращением. Соответственно, фразу нужно оформить так: Первый, первый, я второй!
Вполне допускаем существование текста, в котором речь идет о лидерах и порядке их упоминания, размещения, следования друг за другом. Иными словами, едва ли есть какой резон обсуждать стилистическую характеристику этого словосочетания без контекста.
Немногим позже, чем появилась письменность.
Слово "первый" пишется строчными буквами.
Все эти варианты используются.