Эти слова синонимичны, различаются оттенками значения.
ПРИЗНАК, -а; м.
Показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-л.
СВОЙСТВО, -а; ср. кого-чего.
Существенный признак, качество, отличающее один предмет или одно лицо от другого; отличительная особенность, черта кого, чего-л.
Верно: он занимался черт-те чем.
Вы правы в том, что такое сочетание плеонастично, то есть лексически избыточно. Но оно прочно вошло в состав литературного языка, как и некоторые другие плеоназмы.