Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Оба варианта верны.
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Верно: беспружинный.
Правилен второй вариант.
Верны оба варианта, см. в словарях.
В современном русском языке у существительных муж. рода, заканчивающихся на согласный, в форме им. падежа мн. числа существует два вариантных окончания: ударное -а(-я) и безударное -ы(-и). Ср.: дома, города, учителя и столы, сады, кони, мячи. Некоторая часть слов испытывает колебания, т. е. употребляется и с одним, и с другим окончанием, что вызывает проблему выбора нормативного варианта. Например: договоры и договора, редакторы и редактора, инженеры и инженера (подробнее об этом можно прочитать в «Письмовнике»). Такая вариантность – результат соединения двух древних типов склонения в один. В древнерусском языке было шесть склонений, в современном русском языке – три.
Ничем. Это равноправные орфографические варианты.