Верно: на завтра не обещают дождя.

Оба варианта верны.

Это слова этимологически родственные, но в современном русском языке они однокоренными не являются.

В обоих случаях следует писать раздельно: на завтра.

Орфографический словарь

Правильно дефисное написание: нам придется сегодня-завтра оставить квартиру. Но обратите внимание: сочетание не сегодня завтра пишется без дефисов.

Это сочинительный союз, который относится по значению к разряду градационных.

Завтра – существительное, не склоняется.

Для постановки кавычек нет оснований: кавычки указывают на непривычное значение, необычное употребление слова, но значение слова завтра ''ближайшее будущее' фиксируется словарями (заглянуть бы в наше завтра!), т. е. необычным такое употребление назвать нельзя. Если же есть опасения, что при написании без кавычек читатель может не понять смысла фразы, тогда лучше ее перестроить.

Знаки препинания расставлены верно.