В Градостроительном кодексе РФ и других актах российского законодательства используется термин объекты незавершенного строительства (объекты, строительство которых не завершено).
На наш взгляд, лучше такой вариант: объекты, строительство которых не завершено.
Фраза некорректна. Правильно: недостроенное здание.
Из этих двух вариантов формально более верно раздельное написание.
Однако, на наш взгляд, лучше такой вариант: Ведение реестра жилых объектов на территории республики, строительство которых не завершено.
Верно слитное написание (если по контексту нет противопоставления).