Минздрав – существительное мужского рода: Минздрав обнародовал.
В этом контексте корректно написание строчными буквами: региональные минздравы.
Формальных ограничений на склонение нет, ср. Минздрав — в Минздраве, Минюст — к Минюсту. В неофициальной речи могут склоняться и названия Минрегион, Минкрым, Минкавказ, однако в официальной речи нужно использовать не сокращенные, а полные названия этих министерств.
С большой буквы нужно писать официальные названия министерств, отечественных и зарубежных (то есть писать так, как эти названия оформляются в документах). А вот сочетания типа "минздрав США" можно написать со строчной.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Письмовником» и ресурсом «Проверка слова».
Сокращенные наименования министерств пишутся с большой буквы: Минрегион, Минздрав, Минфин и т. п.