Склоняются все компоненты этого имени: Мартина Лютера Кинга.
Написано верно.
Эти слова могут употребляться как существительные мужского и среднего рода.
Лучше в ед. ч.
Само слово месяц здесь лишнее; написания типа январь месяц, март месяц считаются одной из примет канцелярско-бюрократического языка.