Корректно написание со строчной буквы.

Подробно о склонении географических названий см. в «Письмовнике».

В большинстве случаев названия рек согласуются с родовым наименованием, т. е. склоняются: по реке Оби, по реке Днепру. Однако малоизвестные названия рек обычно не согласуются. Представляется, что Пур можно отнести к малоизвестным названиям рек, следовательно: по реке Пур. 

На Ваш вопрос есть ответ в нашем архиве, см. вторую часть ответа на вопрос № 268480.

Правильно: Аллин папа.

С термином река склоняются простые русские, славянские и освоенные названия: на реке Неве, на реке Висле (но: на реке Иртыш – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают).

Правильно: на реке Каме.

С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: на реке Томи, но: на реке Днепр.

Мужская фамилия в дательном падеже - Авену. Женская фамилия не склоняется.

Написание неустоявшееся. Лучше: в глубь леса (ср.: в глубину леса).