Все верно, если слово кризисный является поясняющим определением (в прошлом, то есть кризисном).
Знаки препинания расставлены корректно.
Перед открывающими кавычками запятая не опускается. Если она нужна по условиям контекста, ее сохраняют: Центр помощи женщинам, оказавшимся в кризисной ситуации, «Доверие».