Об этом может рассказать только сам обладатель фамилии (или энциклопедия, если обладатель фамилии в нее внесен).

Мы не выполняем домашние задания и задания олимпиад по русскому языку.

В значении "после окончания курса" верно: по окончании. Если сочетание употребляется в другом значении, то верен второй вариант.

Оба варианта корректны. Цифровая запись порядковых числительных более характерна для деловой речи. 

Правильно: в курсах.

См. ответ на вопрос № 250720.

Мужская фамилия Косач склоняется (независимо от места ударения), женская – нет.

Фамилия склоняется.

Оба варианта верны, однако они различаются по смыслу. 

В продолжение в контексте В продолжение курса процедур – предлог, указывающий на время; синонимы: в течение, на протяжении чего-либо. В продолжении курса процедур (он не принял участия) – здесь присутствует форма предложного падежа существительного продолжение  ('то, что продолжили').

См. также 304385

См. также 286638

См. также 241359

Кавычки не требуются: корсет на косточках.