Слова корить и упрекать - синонимы.
Для выполнения этого задания нужны словари. Воспользуйтесь электронными словарями на Грамоте.Ру.
Мы не выполняем домашние задания и задания олимпиад по русскому языку.
Вы правы: согласно словарям, у прилагательного корневой нет значения 'основной, главный'. В этом случае следует использовать прилагательное коренной: коренная проблема.
В дательном падеже: Кори Альфрэду Халворсону; Аллану Фредерику Содербергу.