Глагол шастать выражает неодобрение. Таким образом, если у Вас нет цели показать неодобрение и если это не шуточный текст, то верно: бродят по полю.
Общеупотребительно и стилистически нейтрально: дородовой. Вариант дородовый допустим в разговорной речи.