Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Притяжательные прилагательные на -чий во множественном числе и косвенных падежах пишутся с мягким знаком: кошачьи, кошачьего.
Форма родительного падежа: кости.
Правильно: перелом кости.
Верно: обработка кОсти.
Это явление можно назвать разновидностью омонимии (или, как художественный прием, паронимическая аттракция).
Правильно: Кате.
По всем вопросам пишите, пожалуйста, на почту portal@gramota.ru
Корректно: шашлык на кости.