Клеить – глагол 2-го спряжения. Правильно: клеят.
Нормативных указаний нет. Возможно мягкое произношение: [в'е].
Верно дефисное написание.
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
В этом случае также используется прописная буква: Андреевский крест.
Комната (для) квестов - квест-комната.
Корректно: реалити-квест.