Верно: Много квартир сдавалось внаем летом.
Склоняются только мужские фамилии: Заламая, Вагнера; Заламаю, Вагнеру и т. д. Женские фамилии несклоняемы.
По смыслу лучше "в квартирах".
Правилен первый вариант.
Корректно: (специалист) по ремонту квартир.
Вполне корректно: награждается квартет.
Запятая не нужна. Больше чем одна в этом случае значит 'больше одной'.