Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Устойчивого употребления нет. Допустимо: пою под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Картофель – стилистически нейтральное слово, картошка – разговорное. В СМИ поэтому лучше употреблять слово картофель.
Рекомендации справочников по этому поводу разнятся. Подробно см. в ответе 271037.
Да, эти слова можно назвать однокорневыми синонимами.
Правильно написание без запятой.
Написание полугнилая картошка правильно.