Склоняется: каротажа, каротажу и т. д.
Форма мн. ч. неупотребительна. Можно сказать: случаи саботажа, акты саботажа.
Каротаж – франц. carottage, от carotte - буровой керн, буквально - морковь.
Возможны оба варианта.
В школьных тетрадях принято ставить точки после заголовков и дат.
Если прилагательное образовано с помощью суффикса -ин-, то оно пишется с большой буквы: Наташина работа. Если с помощью суффикса -ск-, то с маленькой: путинский указ.
Предпочтителен предлог НА.