Оба варианта правильны.
Предпочтительно: задали.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Корректно слитное написание.
Запятые нужны: неразрешимые, на первый взгляд, задачи...
Предпочтительно: не понял сути.
Фраза корректна.
Правильно строчными: журналисты задали вопросы президенту страны; журналисты задали вопросы главе государства.