Корректно написание строчными буквами.
Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).
Общая рекомендация — оформлять такие сочетания как описательные обороты, то есть писать без заглавных букв. При этом заметим, что нельзя исключить возможность их написания с прописной как устойчиво употребляемых усеченных названий.
Кавычки в этом случае не требуются. Ср.: село Лесное.
Названия без родового слова склоняются: работаю на "Красноармейце" проинформировал "Горожанина", "Сельского курьера". Но: работаю на заводе "Красноармеец", проинформировал газеты "Горожанин" и "Сельский курьер".
Москвич в значении 'автомобиль' – неодушевленное существительное: сел в москвич.
В именительном и винительном падежах верно: 24 сельских поселения.
Корректно: тульский самовар, тульские пряники.
Словарной фиксации нет. Корректно по аналогии с село – сельский – сельчанин: аул – аульский – аульчанин.
Да, есть.