Верно: 34 научные работы.
Верно: преданья.
Оба варианта не вполне корректны, следует перестроить предложение.
Глубок-о. О может быть суффиксом наречия или окончанием прилагательного.
Лучше: нора была глубока, была глубокой.
Словосочетание глубоко ошибаться следует признать корректным: оно зафиксировано в «Словаре сочетаемости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова и В. В. Морковкина.
Разумеется, сочетание глубоко заблуждаться также соответствует литературной норме.