Словосочетание глубоко ошибаться следует признать корректным: оно зафиксировано в «Словаре сочетаемости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова и В. В. Морковкина.
Разумеется, сочетание глубоко заблуждаться также соответствует литературной норме.
Корректно: глубоко насыщенный, прозрачно-невесомый.
Корректно раздельное написание: глубоко недоношенный ребенок. Однако в специальной (медицинской) литературе, где это слово используется в качестве термина, распространено слитное (глубоконедоношенный ребенок) написание.
Глубок-о. О может быть суффиксом наречия или окончанием прилагательного.
Форма корректна.
Деепричастие от глагола погрязнуть (глубоко увязнуть) - погрязнувши.
Как термины пишутся слитно.