Валить кулем, кульем - означает "в больших количествах, мешками": Беды кульем валятся, а счастье золотниками.
Названные Вами сочетания возможны.
Большой толковый словарь
Пословица: Каждый сверчок знай свой шесток. А также: Каждый кулик свое болото хвалит.
Верно и так и так.
Оба варианта верны.
В слове завалинка -ин-, -к- – суффиксы. Гласную в суффиксе -ин- нельзя проверить, подобрав однокоренное к завалинка слово.
Верно: удалить волосы под мышкой. Подробнее см. в словарях.
Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль.
Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь – вырезать. Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).