Формально это обстоятельство образа действия: топил как? - сам (самостоятельно).
Будет корректным во всех случаях считать это слово существительным.
Верно: Карловых Вар.
Правильно: на Крымском Валу. См. ответ на вопрос № 277058.
Торговые названия пишутся с большой буквы: напольная стойка «Парус».
Правильно: нежданно-негаданно.
Запятая не нужна.