Следует писать слитно.
Сочетание бог войны (об артиллерии) пишется строчными буквами без кавычек: Артиллерия – бог войны. В Вашем примере ввиду наличия родового слова прозвище кавычки следует поставить: За артиллерией закрепилось прозвище «бог войны».
Правильно только артиллерийский. Это прилагательное и к артиллерия, и к артиллерист.
Обособление нужно.