Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются. Правильно: Белокопыту Алексею.
Фамилии и имена студентов в этом предложении необходимо написать в форме родительного падежа.
Алексейка; Алёха; Лёха; Алёша; Лёша; Алёня; Лёня; Алёка (Алека); Лёка (Лека); Лёля; Аля; Алюня; Люня.
Эту фамилию нужно склонять: тетрадь для работ Акушки Алексея.
Действительно, здесь возможны разночтения. Снять их поможет контекст. Если контекста нет, а автору важно избежать двоякого толкования, предложение лучше перестроить.
Верно: Алексей — он мужчина благополучный.
Если при фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа: Алексей и Роман Фады.
Мужская фамилия Перчук склоняется.
Имя следует склонять: ...за пациента Сазонова Алексея.