Оба варианта возможны.
Верно: автомотосоревнования. Аналогичные слова есть в словарях.
Дефис нужен: авто- или железнодорожными перевозчиками.
Корректно: автор видео- и аудиокурсов.
Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова».
Форма мужского рода глагола может быть предпочтительна в строгих формах делового и научного стиля, например в отзыве на научную работу: Автор доказал... В беллетристике, газетно-публицистической и тем более устной разговорной речи корректно употребление женского рода глагола.
Об автомобиле правильно: не ездило авто.
В современных словарях русского языка авто зафиксировано как существительное среднего рода. Как слово мужского рода авто уже давно не употребляется.