Во всех случаях корректно написание со строчной буквы: в составе этих наименований нет имен собственных.
Заплести кОсу – правильно. В слове коса в знач. 'заплетенные волосы' ударение в форме винительного падежа падает на о. Если коса в знач. 'сельскохозяйственное орудие', возможно: кОсу и косУ (предпочтительно косУ).
Об этом нужно спросить носителя фамилии. Произносится фамилия в соответствии с семейной традицией. В разных семьях фамилии могут совпадать по написанию, но произноситься по-разному, ср., например: Ива́нов и Ивано́в.
В русском языке это имя не склоняется.
Нет, женское имя Айгуль не склоняется.
Корректно: авторское «я».