Правильно: хаммам (баня). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. М., 2012.
Мужская фамилия склоняется, женская нет.
Оба варианта возможны, однако лишь в разговорной речи.
Существительное хаммам склоняется.
Склоняются все компоненты имени, оканчивающиеся на согласный: Абу Хамиса Фарука Махамада, Абу Хамису Фаруку Махамаду.
Непонятно, кто кому выплачивает?
Верно: ГБУ "Жилищник" выполнило.
Название в кавычках не изменяется: предоставить ГБУ «Спортивная школа»...