Корректен первый вариант.
Строгой литературной норме соответствует вариант в Южном Бутове. Подробнее о склонении названий типа Бутово, Строгино, Марьино можно прочитать в рубрике «1toponimy/">Азбучные истины».
Географические названия обычно не склоняются в сочетании со словом пролив (кроме тех случаев, когда топоним выражен прилагательным): проливам Босфор и Дарданеллы.
Правильно: в Северной и Южной Корее.
Верно: на Южном Урале.
В разговорной речи - можно.
Приводим формулировки правил.
В названиях, начинающихся на Северо- (и Северно-), Юго- (и Южно-), Восточно-, Западно-, Центрально-, с прописной буквы пишутся (через дефис) оба компонента первого сложного слова, напр.: Северо-Байкальское нагорье, Восточно-Китайское море, Западно-Сибирская низменность, Центрально-Черноземный район, Юго-Западный административный округ. Так же пишутся в составе географических названий компоненты других пишущихся через дефис слов и их сочетаний, напр.: Индо-Гангская равнина, Волго-Донской канал, Военно-Грузинская дорога, Алма-Атинский заповедник.
В названиях учреждений, организаций, начинающихся географическими определениями с первыми компонентами Северо- (и Северно-), Юго- (и Южно-), Восточно-, Западно-, Центрально-, а также пишущимися через дефис прилагательными от географических названий, с прописной буквы пишутся, как и в собственно географических названиях, оба компонента первого сложного слова, напр.: Северо-Кавказская научная географическая станция, Западно-Сибирский металлургический комбинат, Санкт-Петербургский государственный университет, Орехово-Зуевский педагогический институт, Нью-Йоркский филармонический оркестр.
Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований – географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов. В остальных случаях они пишутся со строчной буквы. Например: северокавказская природа и Северо-Кавказский регион, Северо-Кавказский военный округ.
См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).
Запятая нужна только в том случае, если оборот Расположенный в одном из престижнейших районов южной столицы имеет добавочное обстоятельственное значение (причинное: «Клубный дом» отвечает самым высоким требованиям, потому что он расположен в одном из престижнейших районов южной столицы), в этом случае после слова столицы будет пауза при чтении. Если такого оттенка значения нет (и нет паузы после слова столицы), запятая не нужна.
Возможны варианты: в Южном Тушине (предпочтительно) и в Южном Тушино (допустимо), но: в районе Южное Тушино. См. «1toponimy/">Азбучные истины».