Склоняется только мужская фамилия. Правильно именно так: Горбоконя, Горбоконю и т. д.
Да, эти названия склоняются, но не «теперь»: все подобные названия изначально были склоняемыми, и лишь относительно недавно распространился несклоняемый вариант. Подробнее см. в «Письмовнике».