Пробел ставится между инициалами имени и отчества, а также между инициалами и фамилией.
Правильно: между младшим и старшим ребенком.
Верно: между пальцами вырастут перепонки. Второй вариант устаревший.
Верно: между машинами (ходить между машинами, выбирать между машинами). При указании на положение в пространстве в разговорной речи допустимо: между машин (ходить между машин).
Больше примеров Вы найдете в словарях.
Верно: между домами.
Ваш вопрос о различиях между благодарю и благодарствую? Эти варианты различаются стилистически: благодарю – общеупотребительный, благодарствую – устаревший и просторечный.
Сегодня предпочтительно: между двумя частями.
Употребление предлога между с родительным падежом устаревает, сохраняется в фразеологических оборотах (между строк, между двух огней).