Пока что название не устоялось, разные организации называются по-разному. Существует Федерация горнолыжного спорта и сноуборда России.
Да, корректно писать с большой буквы.
Кавычки не требуются.
Во всех этих названиях с большой буквы пишется первое слово: Творческий союз художников России, Профессиональный союз художников, Международная федерация художников.