Верно: вручается Марии.
Корректно: Мае (это существительное склоняется так же, как земля). Подробнее см. в пособии Е. И. Литневской (раздел «Склонение существительных»).
Правильно: письмо Марии.
Условные названия заключаются в кавычки: галерея «Глобус», галерея «Марс», галерея «100 своих». Но: галерея Уффици, галерея Тейт.